Calculadora de Bhaskara (equação do 2º grau)
Digite os coeficientes a, b e c da equação ax² + bx + c = 0. A calculadora mostra o delta, as raízes, o vértice e o gráfico, com cada passo da conta.
x² − 5x + 6 = 0
x₁ = 2 e x₂ = 3
Δ > 0: duas raízes reais diferentes.
- Delta (Δ)
- 1
- Soma das raízes (−b ÷ a)
- 5
- Produto das raízes (c ÷ a)
- 6
- Vértice
- (2,5; −0,25)
Passo a passo
- Coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6.
- Delta: Δ = b² − 4·a·c = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
- Raiz do delta: √1 = 1.
- Bhaskara: x = (−b ± √Δ) ÷ 2a = (5 ± 1) ÷ 2.
- x = (5 + 1) ÷ 2 = 3 ou x = (5 − 1) ÷ 2 = 2.
- Vértice: xᵥ = −b ÷ 2a = 2,5 e yᵥ = −Δ ÷ 4a = −0,25. A parábola tem concavidade para cima (a > 0), e o vértice é o ponto mínimo.
A fórmula de Bhaskara
Toda equação do 2º grau pode ser escrita como ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. As raízes saem em dois passos:
Δ = b² − 4ac
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
O sinal ± quer dizer que a conta é feita duas vezes: uma somando a raiz do delta e outra subtraindo. Cada resultado é uma raiz.
O que o delta diz
| Delta | Raízes | Gráfico |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Duas raízes reais diferentes | A parábola corta o eixo x em dois pontos |
| Δ = 0 | Uma raiz real (duas iguais) | A parábola só encosta no eixo x, no vértice |
| Δ < 0 | Nenhuma raiz real (duas complexas) | A parábola não toca o eixo x |
Exemplo resolvido
Resolva x² − 5x + 6 = 0.
- Coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6.
- Delta: Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- Raiz do delta: √1 = 1.
- x = (5 ± 1) ÷ 2. Então x₁ = 4 ÷ 2 = 2 e x₂ = 6 ÷ 2 = 3.
Para conferir, substitua na equação: 2² − 5 · 2 + 6 = 0 e 3² − 5 · 3 + 6 = 0.
Como achar a, b e c
- Passe tudo para um lado, deixando zero do outro. Em x² = 5x − 6, fica x² − 5x + 6 = 0.
- a é o número que multiplica o x², b o que multiplica o x e c o número sozinho.
- Termo que não aparece vale zero. Em 2x² − 8 = 0, b = 0. Em x² + 3x = 0, c = 0.
- x² sozinho tem a = 1; −x² tem a = −1.
Atalhos: soma e produto
Quando as raízes são reais, a soma delas é −b ÷ a e o produto é c ÷ a. Em x² − 5x + 6 = 0, as raízes somam 5 e multiplicadas dão 6: só podem ser 2 e 3. Com a = 1 e raízes inteiras, esse atalho resolve de cabeça.
Vértice da parábola
O vértice é o ponto mais baixo (se a > 0) ou mais alto (se a < 0) do gráfico: xᵥ = −b ÷ 2a e yᵥ = −Δ ÷ 4a. Ele é usado em problemas de máximo e mínimo, como a maior área ou o maior lucro.
Perguntas frequentes
Quem foi Bhaskara?
Bhaskara II foi um matemático indiano do século XII. No Brasil, a fórmula leva o nome dele, mas a resolução da equação do 2º grau já era conhecida antes por outros povos.
O que fazer quando o delta é negativo?
No ensino fundamental e médio, a resposta é que a equação não tem raízes reais. Nos números complexos, as raízes existem: a calculadora mostra as duas na forma a ± bi.
E se a for zero?
Aí a equação não é do 2º grau. Fica bx + c = 0, que se resolve isolando o x: x = −c ÷ b. A calculadora faz essa conta também.
Como resolver equação do 2º grau incompleta?
Se c = 0, coloque o x em evidência: x(ax + b) = 0, e as raízes são 0 e −b ÷ a. Se b = 0, isole o x²: x² = −c ÷ a, e tire a raiz. Bhaskara também funciona nesses casos.
Posso usar números decimais ou frações?
Pode. Digite as frações como decimais, por exemplo 1/2 como 0,5. Ou multiplique a equação inteira pelo denominador para ficar só com inteiros.
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